Question

【題目】已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)均在軸上， 的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從， 上分別取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

	3	-2	4
		0	-4

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ： .；(2) .

【解析】試題分析：（1）先分析出點(diǎn)， 在拋物線上，點(diǎn)， 在橢圓上，利用待定系數(shù)法可得到的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)， ，將代入橢圓方程，消去得，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段的垂直平分線的方程為，由點(diǎn)在直線上，得，結(jié)合判別式大于零可得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：：（1）設(shè)拋物線，則有，據(jù)此驗(yàn)證4個(gè)點(diǎn)知， 在拋物線上，易求.

設(shè)，把點(diǎn)， 代入得：

，解得，所以的方程為.

（2）設(shè)， ，將代入橢圓方程，消去得，

所以，即.①

由根與系數(shù)關(guān)系得，則，

所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

又線段的垂直平分線的方程為，

由點(diǎn)在直線上，得，

即，所以，

由①得，所以，即或，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.