Question

【題目】已知函數的定義域為，且對任意的有. 當時，，.

（1）求并證明的奇偶性；

（2）判斷的單調性并證明；

（3）求；若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0,證明見解析，為奇函數；（2）單調遞增，證明見解析；（3）.

【解析】

（1）令x＝y＝0，求解f（0）＝0．根據判奇偶即可.

（2）f（x）在R上是增函數，任取x1，x2∈R，且x1>x2，則x1﹣x2＞0，可證得，即有f（x1）>f（x2），得到結果；

（3）通過f（3）＝f（2）+f（1）求解即可．由f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞6轉化為f（4x﹣a+6+2x+1）＞f（3）恒成立．利用函數的單調性，構造函數，轉化求解即可．

（1），∴，

又因為的定義域為R關于原點對稱

，∴，

所以為奇函數.

（2）則

，

因為，

所以，單調遞增.

（3）∵，

若，

∴f（），由（2）知單調遞增，

∴，

所以，

∴.