Question

【題目】已知函數(shù) ， ．
（1）當 時，求函數(shù) 的圖象在 處的切線方程；
（2）若函數(shù) 在定義域上為單調(diào)增函數(shù)．
①求 最大整數(shù)值；
②證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當 時，
∴ ，
又 ，∴ ，
則所求切線方程為 ，即
（2）解：由題意知， ，
若函數(shù) 在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則 恒成立．
①先證明 ．設(shè) ，則 ，
則函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
∴ ，即 ．
同理可證
∴ ，∴ ．
當 時， 恒成立．
當 時， ，即 不恒成立．
綜上所述， 的最大整數(shù)值為2．
②由①知， ，令 ，
∴
∴ ．
由此可知，當 時， ．當 時， ，
當 時， ， ，當 時， ．
累加得 ．
又 ，
∴ ．
【解析】(1)函數(shù)的導函數(shù)在x=0處的函數(shù)值就是函數(shù)圖象在該點處的切線斜率,用點斜式得到切線方程;
(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增等價于導函數(shù)在區(qū)間上恒非負,轉(zhuǎn)化為恒成立問題求a的范圍,通過分類討論得到a的最大整數(shù)值;由結(jié)論得到一個不等式,令其中t分別取得,2,3...n得到的不等式相加進一步轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和,從而證明不等式.