Question

【題目】已知函數 （其中 是自然對數的底數）
（1）若 ，當 時，試比較 與2的大小；
（2）若函數 有兩個極值點 ，求 的取值范圍，并證明：

Answer 1

【答案】
（1）解：當 時， ，則 ，令 ，
由于 故 ，于是 在 為增函數，所以 ，即 在 恒成立，
從而 在 為增函數，故
（2）解：函數 有兩個極值點 ，則 是 的兩個根，即方程 有兩個根，
設 ，則 ，
當 時， ，函數 單調遞增且 ；
當 時， ，函數 單調遞增且 ；
當 時， ，函數 單調遞增且 ；
要使方程 有兩個根，只需 ，如圖所示

故實數 的取值范圍是
又由上可知函數 的兩個極值點 滿足 ，由 得 .
由于 ，故 ，所以
【解析】（1）根據導函數即可判斷f（x）在上的單調性，由單調性即可比較f（x）與2的大小，（2）先求導數 f ' ( x )，由題意知x 1 , x 2 ， 是方程 f ' ( x )=0的兩個根，令，利用導數得到函數的單調區間，繼而可得到k的取值范圍，由 f ' ( x 1 ) = 0 得 k = ，又由f（x1）=-（x1-1）2+1，x1∈（0,1），即可得到0<f（x1）<1.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值的理解，了解極值反映的是函數在某一點附近的大小情況．