Question

【題目】已知曲線C上任意一點M滿足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（，F2（，

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）已知直線與曲線C交于A，B兩點，是否存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用曲線C上任意一點M滿足|MF1|+|MF2|=4，其中，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；（Ⅱ）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理，及，即可求得結論

試題解析：（Ⅰ）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得a=2，c=，

所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，

故所求橢圓C的方程為．

（Ⅱ）存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．

理由如下：

設點A（x1，y1），B（x2，y2），

將直線方程代入整理得

，因為以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O

所以，即．

又，

于是，解得，

經檢驗知：此時（*）式的△＞0，符合題意．

所以當時，以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．