Question

【題目】如圖,在四棱錐中, 平面平面,.

（1）求證: 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在點,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）由已知結合面面垂直的性質可得平面，進一步得到，再由，由線面垂直的判定得到平面；

（2）取中點為，連接，，由已知可得，．以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得，，，，進一步求出向量、、的坐標，再求出平面的法向量，設與平面的夾角為，由，求得直線與平面所成角的正弦值；

（3）假設存在點使得平面，設，，由可得，，由平面，可得，由此列式求得當時，點即為所求．

試題解析：（1）證明: 因為平面平面,平面,

又因為平面.

（2）如圖, 取的中點,連接又因為平面,平面平面,平面,平面,.如圖建立空間直角坐標系,由題意.

設平面的法向量為,則,即,令,則,又,

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（3）設是棱上一點，則存在使得，因此點平面平面，當且僅當，

即，解得，所以在棱上存在點使得平面，

此時.