Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓C經過，，（）三點，M是線段上的動點，，是過點且互相垂直的兩條直線，其中交y軸于點E，交圓C于P、Q兩點.

（1）若，求直線的方程；

（2）若是使恒成立的最小正整數

①求的值； ②求三角形的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②.

【解析】

（1）求出圓的標準方程，設直線的方程，利用，結合圓心到直線的距離分析可得，解可得的值，驗證直線與軸有無交點，即可得答案；

（2）①設，由點在線段上，得，由，得，結合題意，線段與圓至多有一個公共點，分析可得，分析可得的值，

②由①的結論，分直線的斜率存在與不存在2種情況討論，用表示三角形的面積，結合二次函數的性質分析可得答案．

解：（1）由題意可知，圓C的直徑為，

所以圓C方程為：，設方程為：，則，

解得，，當時，直線與y軸無交點，不合題意，舍去.

所以，時直線的方程為.

（2）①設，由點在線段上，則有，即．

由，則有

依題意知，線段與圓至多有一個公共點，

故，解可得或，

因為是使恒成立的最小正整數，所以；

②由①的結論，圓的方程為．

分2種情況討論：

當直線時，直線的方程為，此時，；

當直線的斜率存在時，設的方程為，，

則的方程為，

點，所以，

又圓心到的距離為，

所以，

故，

又由，

故求三角形的面積的最小值為．