Question

【題目】已知函數(shù)(且).

(1)判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由;

(2)是否存在實數(shù),使得當的定義域為時,值域為?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；

(2)存在；.

【解析】

(1)由，可求出的定義域，利用定義法能求出在定義域上為奇函數(shù);

(2)把的定義域為時,值域為轉(zhuǎn)化為在單調(diào)遞減，進一步得到在上有兩個互異實根；令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組求解.

(1) 由，可得或，

所以的定義域為；

因為，

且；

所以在定義域上為奇函數(shù).

(2)假設(shè)存在這樣的實數(shù)，使得當的定義域為時,值域為；

由 ，又，，

所以 .

又因為，

所以在單調(diào)遞減，

所以在單調(diào)遞減，

所以 ，

故，是方程的兩個實數(shù)根，

即在上有兩個互異實根；

于是問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程 在上有兩個不同的實數(shù)根，

令，，

則有 ，解得.

故存在實數(shù)，使得當的定義域為時，值域為.