Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x+1|（x∈R）
（1）證明：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）利用絕對(duì)值及分段函數(shù)知識(shí)，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)的形式，然后畫出函數(shù)圖象，并寫出函數(shù)的值域；
（3）在同一坐標(biāo)系中畫出直線y=x+2，觀察圖象寫出不等式f（x）＞x+2的解集．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（﹣x）=|﹣x﹣1|+|﹣x+1|=|x+1|+|x﹣1|=f（x）

∴f（x）是偶函數(shù)

（2）解：原函數(shù)式可化為：

；其圖象如圖所示，

由函數(shù)圖象知，函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞）

（3）解：由函數(shù)圖象知，

當(dāng)x=0或2時(shí)，f（x）=x+2．

結(jié)合圖象可得，不等式的解集為{x|x＜0或x＞2}

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，我們判斷f（﹣x）與f（x）的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得函數(shù)的奇偶性，（2）先將帶絕對(duì)值的函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)的形式，進(jìn)而結(jié)合分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)及偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得函數(shù)簡(jiǎn)圖；（3）根據(jù)（2）中函數(shù)簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合可在同一坐標(biāo)系中畫出直線y=x+2，觀察圖象寫出不等式f（x）＞x+2的解集．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱才能正確解答此題．