Question

【題目】已知橢圓： （）的離心率為， 、分別是它的左、右焦點(diǎn)，且存在直線，使、關(guān)于的對稱點(diǎn)恰好是圓： （， ）的一條直徑的兩個端點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線（）相交于、兩點(diǎn)，射線、與橢圓分別相交于點(diǎn)、.試探究：是否存在數(shù)集，當(dāng)且僅當(dāng)時，總存在，使點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)？若存在，求出數(shù)集；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）橢圓的焦距等于圓的直徑，所以，根據(jù)離心率求出；

（Ⅱ）因?yàn)?/span>、關(guān)于的對稱點(diǎn)恰好是圓的一條直徑的兩個端點(diǎn)，所以直線是線段的垂直平分線（是坐標(biāo)原點(diǎn)），故方程為，與聯(lián)立得： ，點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi) 韋達(dá)定理代入求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）將圓的方程配方得： ，所以其圓心為，半徑為2.

由題設(shè)知，橢圓的焦距等于圓的直徑，所以，

又，所以，從而，故橢圓的方程為.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>、關(guān)于的對稱點(diǎn)恰好是圓的一條直徑的兩個端點(diǎn)，所以直線是線段的垂直平分線（是坐標(biāo)原點(diǎn)），故方程為，與聯(lián)立得： ，由其判別式得，①

設(shè)， ，則， .

從而 ， .

因?yàn)?/span>的坐標(biāo)為，所以， .

注意到與同向， 與同向，所以

點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)

，②

當(dāng)且僅當(dāng) 即時，總存在，使②成立.

又當(dāng)時，由韋達(dá)定理知方程 的兩根均為正數(shù)，故使②成立的，從而滿足①.

故存在數(shù)集，當(dāng)且僅當(dāng)時，總存在，使點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi).