Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，設橢圓，其中，過橢圓內一點的兩條直線分別與橢圓交于點和，且滿足，，其中為正常數. 當點恰為橢圓的右頂點時，對應的.
（1）求橢圓的離心率；
（2）求與的值；
（3）當變化時，是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）

試題分析：（1）求橢圓的離心率，即尋找關于a,c的等式，而題中已知了，在橢圓中有代入已知等式，可獲得關于a,c的等式，從而可求得離心率的值；（2）因為當點恰為橢圓的右頂點時，對應的，此時點C的坐標可表表示為(a,0),再由及可用a將點A的坐標表示出來，因為點在已知橢圓上，將A點坐標代入可得到關于a,b的一個方程，聯立可解出a,b的值；（3）注意由（2）結論可得到：橢圓的方程為，應用點差法：設出，由得到①，再由得到②；再將A，B兩點的坐標分別代入橢圓方程后相減，可將直線AB的斜率用A，B兩點的坐標來表示，同理將C，D兩點的坐標分別代入橢圓方程后相減，可將直線CD的斜率用C，D兩點的坐標來表示，由平面幾何知識可知AB//CD，所以=，再將①②代入即可求出含與的方程，可解得的值，此值若與有關，則不是定值，此值若與無關，則是定值.
試題解析：（1）因為，所以，得，即，
所以離心率.                                                   4分
（2）因為，，所以由，得，          7分
將它代入到橢圓方程中，得，解得，
所以.                                                     10分
（3）法一：設，
由，得，                                     12分
又橢圓的方程為，所以由，
得  ①，  且   ②，
由②得，，
即，
結合①，得，                                 14分
同理，有，所以，
從而，即為定值.                                   16分
法二：設，
由，得，同理，  12分
將坐標代入橢圓方程得，兩式相減得
，
即，   14分
同理，，
而，所以，
所以，
所以，
即，所以為定值.                            16分
（說明：只給對結論但未正確證明的，給2分）