Question

【題目】已知函數．

（1）求函數在區間上的最大、最小值；

（2）求證：在區間上，函數的圖象在函數的圖象的下方．

Answer 1

【答案】（1）由已知，

當時，，

所以函數在區間上單調遞增，

所以函數在區間上的最大、最小值分別為，，

所以函數在區間上的最大值為，最小值為；

（2）證明：設，則．

因為，所以，

所以函數在區間上單調遞減，

又，所以在區間上，，即，

所以在區間上函數的圖象在函數圖象的下方．

【解析】

（1）求得函數的導數，得到函數的單調性，進而求解函數的最值；

（2）由題意，設，求得，利用導數求得函數的單調性和最小值，即作出證明．

解：(1)由f(x)＝x2＋ln x有f′(x)＝x＋，

當x∈[1，e]時，f′(x)>0，

所以f(x)max＝f(e)＝e2＋1.

f(x)min＝f(1)＝.

(2)設F(x)＝x2＋ln x－x3，

則F′(x)＝x＋－2x2＝，

當x∈[1，＋∞)時，F′(x)<0，

且F(1)＝－<0故x∈[1，＋∞)時F(x)<0，

所以x2＋ln x<x3，得證．