Question

【題目】定義在R上的函數f（x）=ax2+x．

（Ⅰ）當a＞0時，求證：對任意的x1，x2∈R都有[f（x1）+f（x2）]成立；

（Ⅱ）當x∈[0，2]時，|f（x）|≤1恒成立，求實數a的取值范圍；

（Ⅲ）若a=，點p（m，n2）（m∈Z，n∈Z）是函數y=f（x）圖象上的點，求m，n．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（II）-≤a≤-（Ⅲ）m=n=0或者m=-4，n=0

【解析】

（Ⅰ）作差比較；

（Ⅱ）分離變量后再將恒成立轉化為最值；

（Ⅲ）根據兩個整數的和與積都為偶數，得這兩個整數均為偶數．

解：（Ⅰ）證明：∵[f（x1）+f（x2）]-f（）

=（ax12+x1+ax22+x2）-a（）2-

=，

∵a＞0，∴[f（x1）+f（x2）]-f（）≥0，

∴[f（x1）+f（x2）]≥f（）．

（Ⅱ）當x=0時，|f（x）|≤1顯然成立，此時a∈R；

當x∈（0，2]時，|f（x）|≤1-1≤ax2+x≤1≤a≤

-（）2-≤a≤（）2-恒成立，

∵x∈（0，2]，∴-（）2-有最大值-，（）2-有最小值-，

∴-≤a≤-．

（Ⅲ）∵a=，∴f（x）=x2+x，

∵P（m，n2）在函數f（x）的圖象上，∴m2+m=n2，

變形得（m+2）2-4n2=4，

∴（m+2-2n）（m+2+2n）=4，且m∈Z，n∈Z，

∵（m+2-2n）+（m+2+2n）=2m+4為偶數，

∴m+2-2n與m+2+2n同為偶數，

∴或

解得：或

故答案為：m=n=0或者m=-4，n=0．