Question

【題目】已知數列{an}的首項為1，Sn為數列{an}的前n項和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+
（1）若a2 ， a3 ， a2+a3成等差數列，求數列{an}的通項公式；
（2）設雙曲線x2﹣ =1的離心率為en ， 且e2=2，求e12+e22+…+en2 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據題意，數列{an}的首項為1，即a1=1，

又由Sn+1=qSn+1，則S2=qa1+1，則a2=q，

又有S3=qS2+1，則有a3=q2，

若a2，a3，a2+a3成等差數列，即2a3=a2+（a2+a3），

則可得q2=2q，（q＞0），

解可得q=2，

則有Sn+1=2Sn+1，①

進而有Sn=2Sn﹣1+1，②

①﹣②可得an=2an﹣1，

則數列{an}是以1為首項，公比為2的等比數列，

則an=1×2n﹣1=2n﹣1

（2）

解：根據題意，有Sn+1=qSn+1，③

同理可得Sn=qSn﹣1+1，④

③﹣④可得：an=qan﹣1，

又由q＞0，

則數列{an}是以1為首項，公比為q的等比數列，則an=1×qn﹣1=qn﹣1；

若e2=2，則e2= =2，

解可得a2= ，

則a2=q= ，即q= ，

an=1×qn﹣1=qn﹣1=（ ）n﹣1，

則en2=1+an2=1+3n﹣1，

故e12+e22+…+en2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+

【解析】（1）根據題意，由數列的遞推公式可得a2與a3的值，又由a2 ， a3 ， a2+a3成等差數列，可得2a3=a2+（a2+a3），代入a2與a3的值可得q2=2q，解可得q的值，進而可得Sn+1=2Sn+1，進而可得Sn=2Sn﹣1+1，將兩式相減可得an=2an﹣1 ， 即可得數列{an}是以1為首項，公比為2的等比數列，由等比數列的通項公式計算可得答案；
（2）根據題意Sn+1=qSn+1，同理有Sn=qSn﹣1+1，將兩式相減可得an=qan﹣1 ， 分析可得an=qn﹣1；又由雙曲線x2﹣ =1的離心率為en ， 且e2=2，分析可得e2= =2，解可得a2的值，由an=qn﹣1可得q的值，進而可得數列{an}的通項公式，再次由雙曲線的幾何性質可得en2=1+an2=1+3n﹣1 ， 運用分組求和法計算可得答案；
本題考查數列的遞推公式以及數列的求和，涉及雙曲線的簡單幾何性質，注意題目中q＞0這一條件．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．