Question

【題目】如圖所示，正方體的棱長為1，為線段，上的動點，過點的平面截該正方體的截面記為S，則下列命題正確的是______

①當且時，S為等腰梯形；

②當分別為，的中點時，幾何體的體積為；

③當M為中點且時，S與的交點為R，滿足；

④當M為中點且時，S為五邊形；

⑤當且時，S的面積.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

對五個命題逐一畫出圖像，進行分析，判斷出其中的真命題，由此得出正確命題的序號.

對于①，畫出圖像如下圖所示，過作，交于，截面為，由于，所以，故，所以，即截面為等腰梯形.故①正確.

對于②，以為空間坐標原點，分別為軸，建立空間直線坐標系，則,則,.設平面的法向量為，則，令，則，故.則點到平面的距離為.而，故，故②命題正確.

對于③，延長交的延長線于，連接交于，由于，所以，故.由于，所以,故，故③判斷錯誤.

對于④，當時，截面為三角形，故④判斷錯誤.

對于⑤，延長,交的延長線于，連接,交于，則截面為四邊形.由于,所以，面積比等于相似比的平方，即，故.在三角形中，,邊上的高為,故,所以.

綜上所述，本小題正確的命題有①②.