Question

【題目】已知函數，若方程有五個不同的實數根，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由方程的解與函數圖象的交點問題得：方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五個不同的實數根等價于y＝f（x）的圖象與y＝g（x）的圖象有5個交點，作圖可知，只需y＝ax與曲線y＝lnx在第一象限由兩個交點即可，利用導數求切線方程得：設過原點的直線與y＝lnx切于點P（x0，y0），得lnx0＝1，即f′（e），即過原點的直線與y＝lnx相切的直線方程為yx，即所求a的取值范圍為0，得解．

設g（x）＝﹣f（﹣x），則y＝g（x）的圖象與y＝f（x）的圖象關于原點對稱，

方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五個不同的實數根等價于函數y＝f（x）的圖象與y＝g（x）的圖象有5個交點，

由圖可知，只需y＝ax與曲線y＝lnx在第一象限有兩個交點即可，

設過原點的直線與y＝lnx切于點P（x0，y0），

由f′（x），

則y＝lnx的切線為y﹣lnx0（x﹣x0），

又此直線過點（0，0），

所以lnx0＝1，

所以x0＝e，

即f′（e），

即過原點的直線與y＝lnx相切的直線方程為yx，

即所求a的取值范圍為0，

故選：B．