Question

【題目】已知拋物線和的焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)且為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）求拋物線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交的下半部分于點(diǎn)，交的左半部分于點(diǎn)，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）8.

【解析】

（1）根據(jù)為坐標(biāo)原點(diǎn)），利用坐標(biāo)運(yùn)算即可求出，寫(xiě)出拋物線方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程求出的坐標(biāo)，寫(xiě)出弦長(zhǎng)，求出到直線 的距離，寫(xiě)出面積，利用換元法求其最值即可.

（1）F1（1，0），，

∴，，

∴p=2，

∴拋物線C2的方程為x2=4y；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)O的直線為y=kx，

聯(lián)立得（kx）2=4x，求得M（，），

聯(lián)立得N（4k，4k2）（k＜0），

從而，

點(diǎn)P到直線MN的距離，

進(jìn)而

=，

令，

有S△PMN=2（t-2）（t+1），

當(dāng)t=-2時(shí)k=-1，取得最小值．

即當(dāng)過(guò)原點(diǎn)直線為y=-x，

△PMN面積的面積取得最小值8．