Question

函數f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（1）如果函數g（x）單調減區間為（-

1

3

，1），求函數g（x）解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數y=g（x）圖象過點p（1，1）的切線方程；
（3）若?x₀∈（0，+∞），使關于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，求實數a取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求g（x）的導數，利用函數g（x）單調減區間為（-

1

3

，1），即-

1

3

，1是方程g'（x）=0的兩個根．然后解a即可．
（2）利用導數的幾何意義求切線方程．（3）將不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，轉化為含參問題恒成立，然后利用導數求函數的最值即可．

解答：解：（1）∵g'（x）=3x²+2ax-1，若函數g（x）單調減區間為（-

1

3

，1），由g'（x）=3x²+2ax-1＜0，解為-

1

3

＜x＜1，
∴-

1

3

，1是方程g'（x）=0的兩個根，
∴-

1

3

+1=-

2a

3

⇒a=-1，
∴g（x）=x³-x²-x+2…（4分）
（2）設切點為（x₀，y₀），則切線方程為y-y0=(3x02-2x0-1)(x-x0)，將（1，1）代入
得-1(x03-x02-x0+2)=(3x02-2x0-1)(x-x0)x0(x0-1)2=0x0=0或x0=1．
所以切線方程為y=-x+2或y=1…（9分）
（3）要使關于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，即2xlnx≥3x²+2ax-1+2成立．
所以2ax≤2xlnx-3x²-1，在x＞0時有解，所以2a≤2lnx-3x-

1

x

最大值，
令h(x)=2lnx-3x-

1

x

，則h′(x)=

2

x

-3+

1

x2

=

-(x-1)(3x+1)

x2

，
當0＜x＜1時，h'（x）＞0，h（x）單增，
當x＞1時，h'（x）＜0，h（x）單減．
∴x=1時，h（x）max=-4，
∴2a≤-4，
即a≤-2…（14分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質，要求熟練掌握導數和函數單調性，最值之間的關系，考查學生的運算能力．對含有參數恒成立問題，則需要轉化為最值恒成立．