Question

（2009•孝感模擬）已知函數f（x）=xln x．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）k為正常數，設g（x）=f（x）+f（k-x），求函數g（x）的最小值；
（3）若a＞0，b＞0證明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）

Answer 1

分析：（1）先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．
（2）構造函數g（x）=f（x）+f（k-x），（k＞0），利用導函數判斷出g（x）的單調性，進一步求出g（x）的最小值為 g(

k

2

)整理可得證．
（3）先研究f（x）在區間[-e²，-e^-1]上的單調性，再利用導數求解f（x）在區間[-e²，-e^-1]上的最大值問題即可，故只要先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值即得．

解答：解：（1）f′（x）=ln x+1，f′（x）＞0，得x＞

1

e

；
f′（x）＜0，得0＜x＜

1

e

，
∴f（x）的單調遞增區間是（

1

e

，+∞），單調遞減區間是（0，

1

e

）．…（3分）
（2）∵g（x）=f（x）+f（k-x）=x ln x+（k-x）ln（k-x），定義域是（0，k）
∴g′（x）=ln x+1-[ln （k-x）+1]=ln

x

k-x

                               …（5分）
由g′（x＞0，得

k

2

＜x＜k，由g′（x＜0，得0＜x＜

k

2

，
∴函數g（x）在（0，

k

2

） 上單調遞減；在（

k

2

，k）上單調遞增，…（7分）
故函數g（x）的最小值是：y_min=g（

k

2

）=kln

k

2

．…（8分）
（3）∵a＞0，b＞0∴在（2）中取x=

2a

a+b

，k=2，
可得f（

2a

a+b

）+f（2-

2a

a+b

）≥2ln1 f（

2a

a+b

）+f（

2b

a+b

）≥0
⇒

2a

a+b

ln

2a

a+b

+

2b

a+b

ln

2b

a+b

≥0
⇒alna+blnb+（a+b）ln2-（a+b）ln（a+b）≥0
⇒f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）                                   …（12分）

點評：本小題主要考查函數的導數，單調性，利用導數求閉區間上函數的最值等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力，中檔題．