Question

設函數f（x）=xln（e^x+1）-

1

2

x2+3，x∈[-t，t]（t＞0），若函數f（x）的最大值是M，最小值是m，則M+m=

6

．

Answer 1

分析：求導函數，確定函數在[-t，t]上單調增，故有：M=f（x）_max=f（t），m=f（x）_min=f（-t），由此可求M+m的值．

解答：解：求導函數，可得f'（x）=ln（e^x+1）-

x

ex+1

=

1

ex+1

[e^xln（e^x+1）+ln（e^x+1）-lne^x]
又因為當x∈[-t，t]時，e^x+1＞1＞0，又因為ln（e^x+1）-lne^x＞0，所以f'（x）＞0恒成立
故該函數在[-t，t]上單調增，故有：M=f（x）_max=f（t），m=f（x）_min=f（-t）
∴M+m=f（t）+f（-t）=tln（e^t+1）-

1

2

t²+3-tln（e^-t+1）-

1

2

t²+3=3+3=6
故答案為：6

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，確定函數的單調性是關鍵．