Question

7．如圖，點C在以AB為直徑的圓O上，PA垂直與圓O所在平面，G為△AOC的垂心．
（1）求證：平面OPG⊥平面PAC；
（2）若PA=AB=2AC=2，點Q在線段PA上，且PQ=2QA，求三棱錐P-QGC的體積．

Answer 1

分析 （1）由OG⊥AC，OG⊥PA即可得出OG⊥平面PAC，故而平面OPG⊥平面PAC；
（2）利用公式V_P-QGC=V_G-PQC=$\frac{1}{3}{S}_{△PQC}$•GM計算體積．

解答 （1）證明：∵G為△AOC的垂心，∴OG⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，OG?平面ABC，
∴PA⊥OG．
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴OG⊥平面PAC．
又OG?平面OPG，
∴平面OPG⊥平面PAC．
（2）解：延長OG交AC于點M．
由（1）知OM⊥平面PAC，
即GM為點G到平面PAC的距離．
由已知可得，OA=OC=AC=1，
∴△AOC為正三角形，
∴$OM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．$GM=\frac{1}{3}OM=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
∵PA=2，PQ=2QA，∴PQ=$\frac{4}{3}$．
∴S_△PQC=$\frac{1}{2}PQ•CA$=$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×1$=$\frac{2}{3}$，
∴V_P-QGC=V_G-PQC=$\frac{1}{3}{S}_{△PQC}$•GM=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$×$\frac{{\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{27}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．