Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C上的點到點的距離與它到直線的距離之比為，圓O的方程為，曲線C與x軸的正半軸的交點為A，過原點O且異于坐標軸的直線與曲線C交于B，C兩點，直線AB與圓O的另一交點為P，直線PD與圓O的另一交點為Q，其中，設直線AB，AC的斜率分別為；

（1）求曲線C的方程，并證明到點M的距離；

（2）求的值；

（3）記直線PQ，BC的斜率分別為、，是否存在常數，使得？若存在，求的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）；（3）存在；；

【解析】

（1）利用兩點間距離公式和點到直線的距離公式列出方程，從而求出曲線的方程，并能證明到點的距離；（2）設，則，代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡即可得到所求值；（3）聯立直線和橢圓方程，求得點坐標，再求出直線和直線的斜率，從而得到的值.

（1）曲線上的點到點的距離

與它到直線的距離之比為，

所以可得，

整理得曲線的方程為：，

而是橢圓的右焦點，是橢圓上的點，

所以到點的距離.

（2）設，則，

所以，

所以

.

（3）聯立，得到，

所以，其中，

所以，，

聯立，得到，

所以，其中，

所以，，

所以，，

所以，

所以存在常數，使得.