Question

【題目】如果函數的定義域為，且存在實常數，使得對定義域內的任意，都有恒成立，那么稱此函數具有“性質”.

（1）判斷函數是否具有“性質”，若具有“性質”，求出所有的值，若不具有“性質”，請說明理由；

（2）已知具有“性質”，且當時，，求在的最大值；

（3）已知函數既具有“性質”，又具有“性質”且當時，，若函數圖象與直線的公共點有個，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由恒成立，得出的值；

（2）根據性質可知函數為偶函數，求出函數在上的解析式，根據二次函數的性質得出最大值；

（3）根據對稱軸和周期作出函數的圖象，根據交點個數列出不等式組得出的范圍．

（1）假設函數具有“性質”，

則恒成立，即恒成立，

化簡得：恒成立，，解得.

因此，函數具有“性質”，且；

（2）函數具有“性質”，，所以，函數為偶函數.

當時，則，.

當時，；

當時，.

綜上所述，；

（3））函數既具有“性質”，又具有“性質”，

，所以，函數的圖象關于直線對稱，

且函數的一個周期為，

作出函數的圖象如下圖所示：

由圖象可知，函數的最小正周期為．

當時，函數與直線有無數多個交點，不符合題意；

當時，若函數圖象與直線的公共點有個，

所以，解得；

當時，同理可得.

因此，實數的取值范圍是.