Question

【題目】已知函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[0，3]上有最大值5和最小值1．設(shè)f（x）= ．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）﹣k≥0在x∈[1，4]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+1+b=a（x﹣1）2+b﹣a+1，

∵a＞0，開口向上，對稱軸x=1，

∴f（x）在[0，1]遞減，在[1，3]上遞增，

∴f（x）min=f（1）=a﹣2a+1+b=1，f（x）max=f（3）=9a﹣6a+1+b=5，

∴a=b=1；

（2）解：∵f（x）= = =x+ ﹣2≥2 =2 ﹣2，當且僅當x= ∈[1，4]時取等號，

又不等式f（x）﹣k≥0在x∈[1，4]上恒成立，

∴k≤f（x），在x∈[1，4]上恒成立，

∴k≤2 ﹣2，

故k的取值范圍為（﹣∞，2 ﹣2]．

【解析】1、本題考查的是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題。對稱軸不在指定的區(qū)間上，需要根據(jù)單調(diào)求得最值；
2、本題考查的是重要不等式的應(yīng)用。

【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．