Question

【題目】已知一元二次函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的圖象與x軸有兩個不同的公共點，其中一個公共點的坐標為（c，0），且當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0．
（1）當a=1， 時，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函數的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積為8，求a的取值范圍；
（4）若不等式m2﹣2km+1+b+ac≥0對所有k∈[﹣1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1， 時， ，

f（x）的圖象與x軸有兩個不同交點，

∵ ，設另一個根為x2，則 ，∴x2=1，

則 f（x）＜0的解集為

（2）解：f（x）的圖象與x軸有兩個交點，

∵f（c）=0，設另一個根為x2，則 ，

又當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0，則 ，

∴f（x）＜0的解集為

（3）解：由（2）的f（x）的圖象與坐標軸的交點分別為

這三交點為頂點的三角形的面積為 ，

∴ 故

（4）解：∵f（c）=0，∴ac2+bc+c=0，

又∵c＞0，∴ac+b+1=0，…（11分）

要使m2﹣2km≥0，對所有k∈[﹣1，1]恒成立，則

當m＞0時，m≥（2k）max=2

當m＜0時，m≤（2k）min=﹣2

當m=0時，02≥2k0，對所有k∈[﹣1，1]恒成立

從而實數m的取值范圍為 m≤﹣2或m=0或m≥2

【解析】（1）當a=1， c = 時,f（x）與x軸有兩個交點，由此能求出f（x）＜0的解集，（2）f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點，再判斷出兩根的大小可得f（x）＜0的解集，（3）由（2）問中，得出f（x）與坐標軸的交點分別為 ( c ， 0 ) ， ( ， 0 ) ， ( 0 ， c ),算出三角形的面積，由此求得a的取值范圍，（4）f（c）=0，知ac2+bc+c=0，由c＞0，知ac+b+1=0，由此能求出實數m的取值范圍.
【考點精析】利用二次函數在閉區間上的最值和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知當時，當時，；當時在上遞減，當時，；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．