Question

（1）求證：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4能被25整除．
（2）求證：

C

0 n

-

1

2

C

1 n

+

1

3

C

2 n

-

1

4

C

3 n

+…+(-1)n•

1

n+1

C

n n

=

1

n+1

．

Answer 1

分析：（1）用數學歸納法證明：①當n=1時，2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=8×3+5-4=25，能被25整除；②假設n=k時，2^k+2•3^k+5k-4能被25整除，由此導出當n=k+1時，2^k+3•3^k+1+5（k+1）-4能被25整除即可．
（2））由

1

r+1

C

r n

=

1

r+1

•

n!

r!(n-r)!

=

1

n+1

C

r+1 n+1

，能夠證明

C

0 n

-

1

2

C

1 n

+

1

3

C

2 n

-

1

4

C

3 n

+…+(-1)n•

1

n+1

C

n n

=

1

n+1

．

解答：證明：（1）用數學歸納法證明：
①當n=1時，2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=8×3+5-4=25，能被25整除，成立；
②假設n=k時，成立，即2^k+2•3^k+5k-4能被25整除，
則當n=k+1時，2^k+3•3^k+1+5（k+1）-4=6（2^k+2•3^k）+5k+5-4
=（2^k+2•3^k+5k-4）+5（2^k+2•3^k）+5
=（2^k+2•3^k+5k-4）+20•6^k+5，
∵2^k+2•3^k+5k-4能被5整除，20•6^k+5能被25整除，
∴（2^k+2•3^k+5k-4）+20•6^k+5能被25整除，即n=k+1時成立．
由①②知2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4能被25整除．
（2）∵

1

r+1

C

r n

=

1

r+1

•

n!

r!(n-r)!

=

1

n+1

×

(n+1)!

(r+1)!(n-r)!

=

1

n+1

C

r+1 n+1

，
∴

C

0 n

-

1

2

C

1 n

+

1

3

C

2 n

-

1

4

C

3 n

+…+(-1)n•

1

n+1

C

n n

=

1

n+1

[

C

1 n+1

-

C

2 n+1

+

C

3 n+1

+…+（-1）ⁿC

n+1 n+1

]，
當n為奇數時，

C

1 n+1

-

C

2 n+1

+

C

3 n+1

+…+（-1）ⁿC

n+1 n+1

=（

C

1 n+1

+

C

3 n+1

+…+

C

n n+1

）-（

C

2 n+1

+

C

4 n+1

+…+

C

n+1 n+1

）
=

C

0 n+1

=1．
當n為偶數時，

C

1 n+1

-

C

2 n+1

+

C

3 n+1

+…+（-1）ⁿC

n+1 n+1

=（

C

1 n+1

+

C

3 n+1

+…+

C

n+1 n+1

）+（

C

2 n+1

+

C

4 n+1

+…+C

C

n n+1

=

C

0 n+1

=1．
∴

1

n+1

[

C

1 n+1

-

C

2 n+1

+

C

3 n+1

+…+（-1）ⁿC

n+1 n+1

]=

1

n+1

．
∴

C

0 n

-

1

2

C

1 n

+

1

3

C

2 n

-

1

4

C

3 n

+…+(-1)n•

1

n+1

C

n n

=

1

n+1

．

點評：本題考查數學歸納法的應用，考查二項式定理的應用．解題時要認真審題，仔細分析組合數性質，注意合理地進行等價轉化．