Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a_n≠0，anSn+1-an+1Sn=2n-1an+1an，n∈N*
（1）求證Sn=2n-1an
（2）設bn=

an

an+1

求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，可得

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=2^n-1，構建新數列，利用疊加法，即可證得結論；
（2）再寫一式，兩式相減，可得數列的通項，分組求和，即可得到結論．

解答：（1）證明：∵a_n≠0，anSn+1-an+1Sn=2n-1an+1an，n∈N*
∴

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=2^n-1
令cn=

Sn

an

，則cn+1-cn=2n-1
利用疊加法可得：cn-c1=20+21+…+2n-2=

1-2n-1

1-2

=2^n-1-1
∵c1=

S1

a1

=1，∴cn=2n-1
∴Sn=2n-1an；
（2）解：由（1）知，Sn+1=2nan+1
兩式相減可得an+1=2nan+1-2n-1an
∴bn=

an

an+1

=

2n-1

2n-1

=2(1-

1

2n

)
∴T_n=

n

2

-2(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)=

n-4

2

+

1

2n-1

．

點評：本題考查數列遞推式，考查疊加法的運用，考查數列的求和，確定數列的通項是關鍵．