Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-2n（n∈N^*），
（1）求證數列{a_n+2}為等比數列；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），T_n為數列{

bn

an+2

}的前n項和，求證：T_n＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-2n（n∈N^*）⇒s_n-1=2a_n-1-2（n-1）（n≥2），兩式相減后整理可得

an+2

an-1+2

=2（n≥2），從而可證數列{a_n+2}為等比數列；
（2）由（1）知a_n+2=4×2^n-1，從而可得b_n=n+1，于是

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，利用錯位相減法可求得T_n，繼而可證結論．

解答：解：（1）由S_n=2a_n-2n（n∈N^*）可得s_n-1=2a_n-1-2（n-1）（n≥2），
兩式相減得：a_n=2a_n-1+2（n≥2），
∴a_n+2=2（a_n-1+2）（n≥2），
∴

an+2

an-1+2

=2（n≥2），
∴數列{a_n+2}為等比數列，又a₁=2a₁-2，故a₁=2，
∴數列{a_n+2}為首項為4，公比為2的等比數列．
（2）由（1）可知a_n+2=4×2^n-1，
∴b_n=log2(4×2n-1)=log22n+1=n+1，
∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
∴T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，①
∴

1

2

T_n=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，②
∴①-②得：

1

2

T_n=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

，
∴T_n=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

＜

3

2

．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等比關系的確定與錯位相減法求和，考查推理與運算能力，屬于中檔題．