Question

（1）求證：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4能被25整除．
（2）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）用數學歸納法證明：①當n=1時，2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=8×3+5-4=25，能被25整除；②假設n=k時，2^k+2•3^k+5k-4能被25整除，由此導出當n=k+1時，2^k+3•3^k+1+5（k+1）-4能被25整除即可．
（2））由==，能夠證明=．
解答：證明：（1）用數學歸納法證明：
①當n=1時，2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=8×3+5-4=25，能被25整除，成立；
②假設n=k時，成立，即2^k+2•3^k+5k-4能被25整除，
則當n=k+1時，2^k+3•3^k+1+5（k+1）-4=6（2^k+2•3^k）+5k+5-4
=（2^k+2•3^k+5k-4）+5（2^k+2•3^k）+5
=（2^k+2•3^k+5k-4）+20•6^k+5，
∵2^k+2•3^k+5k-4能被5整除，20•6^k+5能被25整除，
∴（2^k+2•3^k+5k-4）+20•6^k+5能被25整除，即n=k+1時成立．
由①②知2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4能被25整除．
（2）∵===，
∴
=[-++…+（-1）ⁿC]，
當n為奇數時，-++…+（-1）ⁿC
=（）-（）
==1．
當n為偶數時，-++…+（-1）ⁿC
=（++…+）+（++…+C
==1．
∴[-++…+（-1）ⁿC]=．
∴．
點評：本題考查數學歸納法的應用，考查二項式定理的應用．解題時要認真審題，仔細分析組合數性質，注意合理地進行等價轉化．