Question

【題目】設函數f（x）=﹣ sinx cosx+1
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間； （Ⅱ）若x∈[0， ]，且f（x）= ，求cosx的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）函數f（x）=﹣ sinx cosx+1=﹣sin（x+ ）+1，故該函數的最小正周期為2π，

令2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ，求得2kπ+ ≤x≤2kπ+ ，可得函數的增區間為[2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈Z．

（Ⅱ）若x∈[0， ]，則x+ ∈[ ， ]，又f（x）= ，即﹣sin（x+ ）+1= ，即sin（x+ ）= ，

∴cos（x+ ）=± =± ．

若cos（x+ ）=﹣ ，則cosx=cos[（x+ ）﹣ ]=cos（x+ ） cos +sin（x+ ） sin =﹣ + = ＜0，不合題意，舍去．

若cos（x+ ）= ，則cosx=cos[（x+ ）﹣ ]=cos（x+ ） cos +sin（x+ ） sin = + = ．

綜上可得，cosx=

【解析】（1）利用兩角和的正弦公式化簡函數f（x）的解析式，再利用正弦函數的周期性和單調性，求得函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間．（Ⅱ）若x∈[0， ]，利用同角三角函數的基本關系、兩角差的余弦公式，求得cosx的值．