Question

【題目】如圖，多面體，平面平面，，，，是的中點，是上的點.

（Ⅰ）若平面，證明：是的中點；

（Ⅱ）若，，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用線面平行的性質定理，可以證明出，，利用平行公理可以證明出，由中位線的性質可以證明出N是DP的中點；

（Ⅱ）方法1：在平面ABCD中作于垂足G，過G作于H，連接AH,利用面面垂直和線面垂直，可以證明出為二面角的平面角,在直角三角形中，利用銳角三角函數，可以求出二面角的平面角的余弦值；

方法2：由平面平面PBC，可以得到平面PBC，，

而即，于是可建立如圖空間直角坐標系（C為原點），利用空間向量的數量積，可以求出二面角的平面角的余弦值.

（I）設平面平面，

因為平面PBC，平面ADP，所以，

又因為，所以平面PBC，

所以，

所以，

又因為M是AP的中點，所以N是DP的中點.

（II）方法1：

在平面ABCD中作于垂足G，

過G作于H，連接AH（如圖），

因為平面平面PBC，，

所以平面PBC，，，，

所以平面PBC，,

所以平面，

所以為二面角的平面角,

易知，，又,

所以在中，易知，，，

所以.

（II）方法2：

因為平面平面PBC，

所以平面PBC，，

而即，

于是可建立如圖空間直角坐標系（C為原點），

得，，，

所有，，

設平面APB的法向量為，則

，，

不妨取，得，

可取平面PBC的法向量為，

所求二面角的平面角為，則.