Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側面是為菱形，在平面內的射影恰為線段的中點.

（1）求證：；

（2）若，，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接，由線面垂直的判定方法可證得面，從而得到，根據平行關系可證得結論；

（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用二面角的空間向量求法可求得結果.

（1）證明：如圖，連接，易知.

∵側面是菱形，∴.

由射影定義可知：面，又面，∴，

而，且，面，∴面，

平面，∴.

∵，∴.

（2）由（1）知：，，，，于是以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

不妨設.

∵在菱形中，，∴，.

在中，.

于是，，，，，

∴，，.

又由，可解得：，.

設平面的法向量為，

則由，得，

令，則，，即.

同理可得平面的法向量.

∴，

二面角的平面角為銳角，所求的余弦值為.