Question

已知定義在區間(0，＋∞)上的函數f(x)滿足f＝f(x₁)－f(x₂)，且當x>1時，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判斷f(x)的單調性；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

Answer 1

（1）0    （2）函數f(x)在區間(0，＋∞)上是單調遞減函數．   （3）－2

解：(1)令x₁＝x₂>0，
代入得f(1)＝f(x₁)－f(x₁)＝0，
故f(1)＝0.
(2)任取x₁，x₂∈(0，＋∞)，且x₁>x₂，
則>1，由于當x>1時，f(x)<0，
所以f<0，即f(x₁)－f(x₂)<0，
因此f(x₁)<f(x₂)，
所以函數f(x)在區間(0，＋∞)上是單調遞減函數．
(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是單調遞減函數．
∴f(x)在[2,9]上的最小值為f(9)．
由f＝f(x₁)－f(x₂)得，
f＝f(9)－f(3)，
而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值為－2.