Question

設e₁，e₂是焦點在x軸上，中心在原點且有公共交點F₁，F₂的橢圓和雙曲線的離心率，O為坐標原點，P是雙曲線的一個公共點，且滿足2|OP|=|F₁F₂|，則

1 e12 + 1 e22

的值為（　　）

• A、2
• B、

  2

• C、

  2

  2

• D、1

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出橢圓的長半軸，雙曲線的實半軸，它們的半焦距，利用橢圓的和雙曲線的定義可得焦半徑，寫出兩個曲線的離心率，即可得到結果．

解答： 解：設橢圓的長半軸是a₁，雙曲線的實半軸是a₂，它們的半焦距是c
并設|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，根據橢圓的和雙曲線的定義可得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
∵2|OP|=|F₁F₂|，
，∴PF₁⊥PF₂，由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²
∴（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²
化簡可得a₁²+a₂²=2c²
∴

1

e12

+

1

e22

=2，
∴

1 e12 + 1 e22

=

2

．
故選B．

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關鍵是得到兩個曲線的參數之間的關系，屬于中檔題．