Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若， 恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）當時，討論函數的單調性．

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出當的函數的導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程，即可得到所求切線方程；（Ⅱ）對進行變形，得在恒成立，再構造（），再對進行求導，即可求出，即可得到實數的取值范圍；（Ⅲ）求出函數的導數，求出的零點或，分別對兩個零點的大小關系作為分類討論，即可得到函數的單調性.

試題解析：

解：（Ⅰ）當時， ，∴切線的斜率，

又， 在點處的切線方程為，

即．

（Ⅱ）∵對， 恒成立，∴在恒成立，

令（），，

當時， ，當時， ，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，故實數的取值范圍為．

（Ⅲ）．

令，得或，

①當時， 恒成立，∴在上單調遞增；

②當時， ，

由，得或；由，得．

∴單調遞增區間為， ；單調減區間為．

③當時， ，

由，得或；由，得．

∴單調增區間為， ，單調減區間為．

綜上所述：當時， 在上單調遞增；

當時， 單調增區間為， ，單調減區間為；

當時， 單調增區間為， ，單調減區間為．