Question

【題目】如圖，三棱錐中， 平面， ， ， 是的中點， 是的中點，點在上， .

（1）證明： 平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明過程見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點，利用中位線的性質(zhì)，可證明平面GEF//平面ABC，進(jìn)而得到EF//平面ABC；（Ⅱ）由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，求出法向量之間的夾角即可求出二面角的余弦值.

試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，取AD中點G，連接GE，GF，

則GE//AC，GF//AB，

因為GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF//平面ABC，

所以EF//平面ABC．

（Ⅱ）作BO⊥AC于點O，過點O作OH//PA，

以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OC，OH所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

∴，

則平面CDA的一個法向量為

設(shè)平面CDB的一個法向量為

則

可取，所以，

所以二面角BCDA的余弦值為．