Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= + 的圖象關(guān)于y軸對稱，且a＞0．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在[0，2]的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）= + 的圖象關(guān)于y軸對稱，且a＞0，

∴f（x）是R上的偶函數(shù)，

故有f（﹣1）=f（1），即 + = + ，求得a=1，檢驗滿足條件

（2）解：由（1）知f（x）= +2x=2x+2﹣x．

設(shè)任意的0≤x1＜x2≤2，則

f（x1）﹣f（x2）= + ﹣（ + ）=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）

=（ ﹣ ）+ =（ ﹣ ）（1﹣ ），

由題設(shè)可得， ﹣ ＜0，0＜ ＜1，1﹣ ＞0，

∴（ ﹣ ）（1﹣ ）＜0，即 f（x1）﹣f（x2）＜0，

故函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，

∵f（0）=2，f（2）= ，∴f（x）在[0，2]的值域為[2， ]

【解析】（1）根據(jù)題意可得f（x）是R上的偶函數(shù)，f（﹣1）=f（1），由此求得a的值．（2）先證明函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f（0）=2，f（2）= ，可得 f（x）在[0，2]的值域．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的值域的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的才能正確解答此題．