Question

某商場從生產廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價定為P元，則銷售量Q（單位：件）與零售價P（單位：元）有如下關系：Q=8300-170P-P²．問該商品零售價定為

30

元時毛利潤最大（毛利潤=銷售收入-進貨支出）．

Answer 1

分析：毛利潤等于銷售額減去成本，可建立函數關系式，利用導數可求函數的極值點，利用極值就是最值，可得結論．

解答：解：由題意知：毛利潤等于銷售額減去成本，即
L（p）=pQ-20Q=Q（p-20）=（8300-170p-p²）（p-20）
=-p³-150p²+11700p-16600，
所以L′（p）=-3p²-300p+11700．
令L′（p）=0，解得p=30或p--130（舍去）．
此時，L（30）=23000．
因為在p=30附近的左側L′（p）＞0，右側L′（p）＜0．
所以L（30）是極大值，根據實際問題的意義知，L（30）是最大值，
故答案為：30

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查利用導數求函數的最值，由于函數為單峰函數，故極值就為函數的最值．