Question

【題目】已知數列{an}的各項都是正數，a1=1，an+12=an2+ （n∈N*）
（1）求證： ≤an＜2（n≥2）
（2）求證：12（a2﹣a1）+22（a3﹣a2）+…+n2（an+1﹣an）＞ ﹣ （n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an＞0，an+12=an2+ ，∴an+1＞an，

∴{an}是遞增數列．

由a1=1，得a2= ，

當n≥2時，an+12﹣an2= ≥ ，

∴an2﹣an﹣12≥ ，an﹣12﹣an﹣22≥ ，…，a32﹣a22≥ ，

以上各式相加得：an2﹣a22≥ （ + +…+ ），

而 + +…+ ≥ + +…+ =（ + +… ﹣ ）= ，

∴an2﹣2≥ ，即an2≥2+ ，

∴an≥ ，

又an+12=an2+ =（an+ ）2﹣ ＜（an+ ）2，

∴an+1＜an+ ，即an+1﹣an＜ ，

∴an﹣an﹣1＜ ，an﹣1﹣an﹣2＜ ，…，a3﹣a2＜ ，a2﹣a1＜ ，

以上各式相加得：an﹣a1＜ （ + +…+ ）＜ （1+ + +…+ ）= （2﹣ ）＜1，

∴an＜a1+1=2

（2）證明：∵an+12=an2+ ，

∴n2（an+12﹣an2）=an，

∴n2（an+1﹣an）= = ﹣ ，

又an+1﹣an= ＜ ，

∴n2（an+1﹣an）= ﹣ ＞ ﹣ ﹣ ，

∴12（a2﹣a1）+22（a3﹣a2）+…+n2（an+1﹣an）＞ ﹣ （ + + +…+ ）

＞ ﹣ （1+ + +…+ ）= ﹣ （1+1﹣ ）＞ ﹣

【解析】（1）由條件得an2﹣an﹣12≥ ，an﹣12﹣an﹣22≥ ，…，a32﹣a22≥ ，各式累加后放縮得出結論；（2）由條件得n2（an+1﹣an）= = ﹣ ＞ ﹣ ﹣ ，各式累加后放縮得出結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和不等式的證明的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．