Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，若圓x2+y2=a2被直線x﹣y﹣ =0截得的弦長為2
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知點A、B為動直線y=k（x﹣1），k≠0與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點M，使得 為定值？若存在，試求出點M的坐標和定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）圓x2+y2=a2的圓心（0，0）到直線x﹣y﹣ =0的距離d= =1，

∴2=2 ，解得a2=2，又 = ，a2=b2+c2，

聯立解得：a2=2，c=1=b．

∴橢圓C的標準方程為： +y2=1．

（II）假設在x軸上存在定點M（m，0），使得 為定值．

設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立 ，化為：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

則x1+x2= ，x1x2= ．

=（x1﹣m，y1）（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣1）（x2﹣1）=（1+k2）x1x2﹣（m+k2）（x1+x2）+m2+k2

=（1+k2） ﹣（m+k2） +m2+k2

= ，

令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m= ．

因此在x軸上存在定點M（ ，0），使得 為定值

【解析】（I）求出圓x2+y2=a2/span>的圓心（0，0）到直線x﹣y﹣ =0的距離d，利用2=2 ，解得a2，又 = ，a2=b2+c2，聯立解出即可得出．（II）假設在x軸上存在定點M（m，0），使得 為定值．設A（x1，y1），B（x2，y2），直線方程與橢圓方程聯立化為：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

利用根與系數的關系及其數量積運算性質可得 = ，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m即可得出．

【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．