Question

【題目】已知函數f（x）=lnx，g（x）= ﹣ （x為實常數）．
（1）當a=1時，求函數φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在區間[ ]上有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，函數φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ + ，

∴φ′（x）= = ；

x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0

∴函數φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上單調遞增

∴x=4時，φ（x）min=2ln2﹣

（2）解：方程e2f（x）=g（x）可化為x2= ﹣ ，∴a= ﹣x3，

設y= ﹣x3，則y′= ﹣3x2，

∵x∈[ ]

∴函數在[ ]上單調遞增，在[ ，1]上單調遞減

∵x= 時，y= ；x= 時，y= ；x=1時，y= ，

∴y∈[ ]

∴a∈[ ]

【解析】（1）求導數，求得函數的單調性，即可求函數φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）化簡方程，分離參數，再構建新函數，確定函數的單調性，求出函數的值域，即可求實數a的取值范圍．