Question

【題目】已知在正項(xiàng)數(shù)列中，首項(xiàng)，點(diǎn)在雙曲線上，數(shù)列中，點(diǎn)在直線上，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．

（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）若，求證： 數(shù)列為遞減數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意可得﹣＝1，即數(shù)列{}是等差數(shù)列，同樣Tnbn+1，利用兩式作差即可得到的通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)（1）求得{an}的通項(xiàng)公式和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得{cn}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得cn+1﹣cn的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式小于零，原式得證．

解：（1）由已知點(diǎn)An（，）在曲線y2﹣x2＝1上知﹣＝1．

所以數(shù)列{}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，

所以＝+（n﹣1）d＝2+n﹣1＝n+1，

點(diǎn)（bn，Tn）在直線yx+1上，所以Tnbn+1①

Tn﹣1bn﹣1+1②

兩式相減得bnbnbn﹣1

∴bnbn﹣1

令n＝1得b1b1+1所以b1．

所以數(shù)列{bn}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，

所以bn（）n﹣1；

（2）證明：cn＝anbn＝（n+1），

所以cn+1﹣cn＝（n+2）（n+1）

[（n+2）﹣3（n+1）]

（n+2﹣3n﹣3）

（﹣2n﹣1）＜0

故cn+1＜cn．

∴數(shù)列為遞減數(shù)列．