Question

【題目】設(shè)函數(shù)（，為實(shí)數(shù)）.

（1）若為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)，求函數(shù)的最小值（用表示）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）直接利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用求出a的值．

（2）利用分類討論思想的應(yīng)用求出函數(shù)的最小值．

（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（﹣x）＝f（x）對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立．

即：x2+|﹣x﹣a|＝x2+|x﹣a|，所以|x+a|＝|x﹣a|恒成立，即a＝0．

（2）在的基礎(chǔ)上，討論x﹣a的符號(hào)，

①當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）＝x2+x﹣a，所以函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x，此時(shí)．

②當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）＝x2﹣x+a，所以函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x，此時(shí)．

又由于a時(shí)，，所以函數(shù)f（x）的最小值為．