Question

設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，離心率．過(guò)該橢圓上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長(zhǎng)線上，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（3）設(shè)直線MN過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線MN的方程.

Answer 1

（1）;(2) ;(3)或.

試題分析：（1）要求橢圓的方程,就要知道a,b,由點(diǎn)A知道a=,由離心率可求得c,由a²=b²+c²進(jìn)而求出b=1;(2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,首先設(shè)，，利用用C點(diǎn)表示P點(diǎn)坐標(biāo),,代入橢圓方程,從而得到動(dòng)點(diǎn)C的軌跡;(3)直線MN被橢圓截得的弦長(zhǎng),直線MN斜率分兩種情況,斜率存在和斜率不存在,斜率不存在是,直線MN方程為x="1," ,舍掉,斜率存在式,設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程,利用根與系數(shù)關(guān)系和可以求出k.
試題解析：（1）由題意可得，，，
∴，
∴，
∴橢圓的方程為．
（2）設(shè)，，由題意得，即，
又，代入得，即,
即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為．
（3） 若直線MN的斜率不存在，則方程為，所以,
∴直線MN的斜率存在，設(shè)為k，直線MN的方程為，
由，得,
∵，
∴,
設(shè)M ，則
∴，
即，
解得.
故直線MN的方程為或.