Question

如圖，F₁，F₂是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點，直線：x＝－將線段F₁F₂分成兩段，其長度之比為1:3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)； (Ⅱ)[，）．

試題分析：(Ⅰ)由題意比例關系先求c，再由離心率求a，從而可求橢圓的方程；（Ⅱ）分直線AB斜率是否存在兩種情況討論：（1）當直線AB垂直于x軸時，易求；（2）當直線AB不垂直于x軸時，先設直線AB的斜率，點M、A、B的坐標，把點A、B坐標代入橢圓方程求k、m之間的關系，再求PQ直線方程，然后與橢圓方程聯立方程組，由韋達定理求的表達式，最后求其范圍．
試題解析：(Ⅰ) 設F₂(c，0)，則＝，所以c＝1．
因為離心率e＝，所以a＝．
所以橢圓C的方程為．                     6分

(Ⅱ)當直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x＝－，此時P(，0)、Q(,0)
．
當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的斜率為k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
由  得(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，則－1＋4mk＝0，故k＝．
此時，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為．即．
聯立 消去y，整理得．
所以，．
于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

．
令t＝1＋32m²，1＜t＜29，則．
又1＜t＜29，所以．
綜上，的取值范圍為[，）． 15分