Question

【題目】已知函數，，其中a為常數．

當時，設函數，判斷函數在上是增函數還是減函數，并說明理由；

設函數，若函數有且僅有一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），

【解析】

代入a的值，求出的解析式，判斷函數的單調性即可；

由題意把函數有且僅有一個零點轉化為有且只有1個實數根，通過討論a的范圍，結合二次函數的性質得到關于a的不等式組，解出即可．

（1）由題意，當時，，則，

因為，又由在遞減，

所以在遞增，

所以根據復合函數的單調性，可得函數在單調遞增函數；

由，得，即，

若函數有且只有1個零點，

則方程有且只有1個實數根，

化簡得，

即有且只有1個實數根，

時，可化為，即，

此時，滿足題意，

當時，由得：

，解得：或，

當即時，方程有且只有1個實數根，

此時，滿足題意，

當即時，

若是的零點，則，解得：，

若是的零點，則，解得：，

函數有且只有1個零點，所以或，，

綜上，a的范圍是，．