Question

若x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，如[-1.5]=-2，[5.1]=5，設{x}=x-[x]，則對函數f（x）={x}，下列說法中正確的個數是（　　）
①定義域為R，值域為[0，1）；
②它是以1為周期的周期函數；
③若方程f（x）=kx+k有三個不同的根，則實數k的取值范圍是（-

1

3

，-

1

4

]∪[

1

4

，

1

3

）；
④若n≤x₁≤x₂＜n+1（n∈Z），則f（x₁）≤f（x₂）．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：

分析：抓住n≤x＜n+1時，f（x）=x-n這一特征進行求解．

解答： 解：①函數f（x）定義域為R，假設n≤x＜n+1，則f（x）=x-n∈[0，1），即①正確；
②假設n≤x＜n+1，n+1≤x＜n+2（n∈Z），則f（x）=x-n，f（x+1）=x+1-n-1=x-n，即f（x）=f（x+1），②正確；
③方程f（x）=kx+k有三個不同的根，即函數f（x）的圖象與直線y=kx+k有三個不同交點，結合圖象可知，k的取值范圍應為(-1，-

1

2

]∪[

1

4

，

1

3

)，即③錯誤；
④若n≤x₁≤x₂＜n+1（n∈Z），則f（x₁）=x₁-n，f（x₂）=x₂-n，故f（x₁）≤f（x₂），④正確．
故選：C．

點評：本題在高斯函數的背景下考查了函數的圖象與性質，有一定的難度．解題時，要牢牢抓住n≤x＜n+1時，f（x）=x-n這一特征．