Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（﹣x）+f（x+3）=0；當x∈（0，3）時，f（x）= ，其中e是自然對數的底數，且e≈2.72，則方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的個數為（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7

Answer 1

【答案】C
【解析】解：當x＞0時，f（﹣x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=﹣f（﹣x），
∵f（x）是奇函數，
∴f（x）的周期為3，
當x∈（0，3）時，f（x）= ，∴f′（x）= ，
∴函數在（0，e）上單調遞增，在（e，3）上單調遞減，
在[0，9]上作出y=f（x）的圖象，作出y= 的圖象，如圖所示

∴在[0，9]上，有3個交點，由對稱性，可得方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的個數為6，
故選：C．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)．