Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2， .

（1）求證：PD⊥平面PAB；

（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由條件得平面PAD，因此，再結(jié)合 ，可得PD⊥平面PAB。（2）取AD的中點(diǎn)O，連PO，CO，可證得OP,OA,OC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的運(yùn)算求解。

試題解析：

（1）∵平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD, AB⊥AD，

∴平面PAD，

∵平面PAD，

∴,

又，

∴ PD⊥平面PAB。

（2）取AD的中點(diǎn)O，連PO，CO。

∵，

∴CO⊥AD，

∵PA=PD，

∴PO⊥AD，

∴OP,OA,OC兩兩垂直，

以O為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

則。

∴。

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，

由 ，得。

令，則。

設(shè)直線PB與平面PCD所成角為，

則.

∴直線PB與平面PCD所成角的正弦值為。