Question

【題目】已知遞增等比數列{an}的第三項、第五項、第七項的積為512，且這三項 分別減去1，3，9后成等差數列．
（1）求{an}的首項和公比；
（2）設Sn=a12+a22+…+an2 ， 求Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據等比數列的性質，可得a3a5a7=a53=512，解之得a5=8．

設數列{an}的公比為q，則a3= ，a7=8q2，

由題設可得（ ﹣1）+（8q2﹣9）=2（8﹣3）=10

解之得q2=2或 ．

∵{an}是遞增數列，可得q＞1，∴q2=2，得q= ．

因此a5=a1q4=4a1=8，解得a1=2

（2）解：由（1）得{an}的通項公式為an=a1qn﹣1=2× = ，

∴an2=[ ]2=2n+1，

可得{an2}是以4為首項，公比等于2的等比數列．

因此Sn=a12+a22+…+an2= =2n+2﹣4

【解析】（1）根據題意利用等比數列的性質，可得a53=512，解出a5=8．設公比為q，得a3= 且a7=8q2 ， 由等差中項的定義建立關于q的方程，解出q的值，進而可得{an}的首項；（2）由（1）得an=a1qn﹣1= ，從而得到an2=[ ]2=2n+1 ， 再利用等比數列的求和公式加以計算，可得求Sn的表達式．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．